أنواع المعادلات الخطية

تعتبر المعادلة الخطية من المفاهيم الأساسية في الرياضيات، وتصنف أساسًا إلى ثلاثة أنواع رئيسية، كما يلي:

المعادلة بالصورة القياسية

المعادلة بالصورة القياسية (بالإنجليزية: standard form) تُعبر عن المعادلة الخطية بالشكل التالي:

أ س + ب ص = ج؛ حيث يمثل أ، ب، ج عادةً أعدادًا صحيحة.

لتحديد الرسم البياني ونقاط التقاطع للمعادلة الخطية عند استخدامها بالصورة القياسية:

عندما تكون المعادلة الخطية بصيغة قياسية، فإنه يمكننا حساب نقاط التقاطع مع المحاور. مما يساعدنا في رسم البيان المناسب للمعادلة.

المثال التالي يوضح هذه الفكرة:

مثال 1: افترض أن لدينا المعادلة الخطية التالية: 2س + 3ص = 12

1. إذا افترضنا س = 0
2. سنجد أنه 3ص = 12
3. ومن ثم؛ ص = 12 / 3
4. وبالتالي، فإن المقطع الصادي هو (0 ,4)
5. اتبع نفس الخطوات مع افتراض ص = 0
6. سيصبح 2س = 12
7. ومن ثم س = 12 / 2
8. وبالتالي، فإن المقطع السيني هو (6, 0)
9. لنرسم خطًا مستقيمًا يربط بين النقطتين، (6 ,0) و (0 ,4).

مثال 2: لتحديد المقطع السيني والصادي للمعادلة 5س – 2ص = 10؟

سنتبع نفس الطريقة المعتمدة:

1. إذا افترضنا ص = 0
2. ستكون النتيجة 5س = 10
3. ومن ثم س = 2
4. الآن افترض س = 0
5. سيكون لدينا 2ص = 10
6. وبالتالي ص = 5
7. حينها نجد أن:
   1. المقطع السيني: (2 ,0)
   2. المقطع الصادي: (0,5)

تحويل المعادلة إلى الصيغة القياسية:

في بعض الأوقات، عند حل المعادلات الخطية، قد نحتاج إلى تحويل المعادلة إلى شكلها القياسي، دعنا نوضح ذلك بالمثال التالي:

مثال: كيف يمكن تحويل المعادلة ص = 3/8س + 5 إلى الصيغة القياسية؟

1. اجعل جميع المتغيرات على جانب واحد: -3/8س + ص = 5
2. اضرب جميع حدود المعادلة بـ 8: -3س + 8ص = 40
3. وبهذا حصلنا على الصيغة القياسية حيث أن أ = -3، ب = 8، و ج = 40.

معادلة الميل ونقطة

معادلة الميل ونقطة (بالإنجليزية: point slope) تعبر عن علاقة بين متغيرين وتستخدم الصيغة التالية:

ص – ص1 = م (س – س1)

حيث يمثل م ميل الخط المستقيم، و (س1، ص1) نقطة تقع على هذا الخط.

لنفترض أننا نريد تحديد معادلة خط مستقيم يمر بالنقطة (1,5) ويميل -2.

1. من خلال المعلومات المعطاة نستنتج أن: م = -2، س1 = 1، ص1 = 5.
2. وبالتالي، فإن معادلة الخط المستقيم ستصبح: ص – 5 = -2 (س – 1).

تحديد معادلة خط مستقيم يمر بين نقطتين:

لإيجاد معادلة الخط الذي يمر بنقطتين نحتاج في البداية إلى معرفة قانون الميل، كما يلي:

م = (ص – ص1) / (س – س1)

حيث أن م هو الميل و (س، ص) هي النقطة الثانية و (س1, ص1) هي النقطة الأولى.

مثال: احسب معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة (1 ,4) والنقطة (6 ,19).

1. باستخدام قانون الميل: م = (19 – 4) / (6 – 1)
   1. م = 15 / 5
   2. م = 3

1. بعد تحديد الميل، نستخدم إحدى النقطتين لإيجاد المعادلة، لتكن النقطة (1 ,4).
2. ومن ثم معادلة الخط المستقيم ستكون: ص – 4 = 3 (س – 1).

معادلة الميل والمقطع

معادلة الميل والمقطع (بالإنجليزية: slope-intercept) تمثل معادلة خطية بمتغيرين وتُصاغ على النحو التالي:

ص = م س + ب

حيث م هو الميل و ب هو المقطع الصادي.

لإيجاد معادلة الميل والمقطع من عناصرها:

مثال 1: لنفترض أننا نريد العثور على معادلة الخط المستقيم الذي ميله -1 ومقطعه الصادي هو (0 ,5).

1. أولاً، يجب تحديد قيمة كل عنصر لكتابة المعادلة:
   1. م = -1
   2. ب = 5

1. وبالتالي، فإن شكل المعادلة سيكون: ص = -1س + 5.

مثال 2: لنفترض أن لدينا خطًا مستقيمًا يمر بالنقطتين (0 ,4-) و(3 ,1-) كيف يمكننا إيجاد معادلته؟

1. أولاً، يمكننا ملاحظة أن النقطة (0 ,4-) تمثل المقطع الصادي.
   1. ومن ثم ب = -4.

1. بعد ذلك، يجب حساب ميل الخط المستقيم:
   1. م = (-1 – (-4))/(3 – 0)
   2. م = 3 / 3
   3. م = 1.

1. إذًا معادلة الخط المستقيم ستكون: ص = 1س – 4.

ما هي المعادلة الخطية؟

المعادلة الخطية هي معادلة تتميز بأن أعلى قوة للمتغير بها ستظل دائمًا 1. لا يُسمح بأن يُرفع أي من المتغيرات لقوة أكبر من 1. ولهذا السبب تُعرف أيضًا بالمعادلة من الدرجة الأولى. يتم دائمًا عرض تمثيلها البياني كخط مستقيم، مما يُفسر تسميتها بالخطية.

يمكن أن تكون المعادلة الخطية معادلة بمتغير واحد أو أكثر، بشرط أن تكون جميع المتغيرات مرفوعة للأس 1.